Утверждение. Косинус разности двух углов вычисляется по формуле

cos(α-β) = cosα×cosβ+sinα×sinβ

Доказательство:

Посмотрим на рисунок.

Вектор OA имеет координаты (cosα; sinα), а вектор OB (cosβ; sinβ). Тогда, их скалярное произведение равно:

OA×OB = cosα×cosβ+sinα×sinβ.

Но, с другой стороны, угол между векторами OA и OB равен α-β.

Тогда, по другой формуле, их скалярное произведение:

OA×OB = |OA|×|OB| cos(α-β).

Так как |OA| = |OB| = 1, OA×OB = cos(α-β)

Получаем: cos(α-β) = cosα×cosβ+sinα×sinβ

Утверждение. Косинус суммы двух углов вычисляется по формуле

cos(α+β) = cosα×cosβ-sinα×sinβ

Для доказательства воспользуемся предыдущей формулой:

cos(α+β) = cos(α-(-β)) = cosα×cosβ+sinα×sin(-β) = cosα×cosβ-sinα×sinβ

Утверждение. Синус суммы двух углов вычисляется по формуле

sin(α+β) = sinα×cosβ+cosα×sinβ

Воспользуемся формулой приведения.

Утверждение. Синус разности двух углов вычисляется по формуле

sin(α-β) = sinα×cosβ-cosα×sinβ

Для доказательства воспользуемся предыдущей формулой:

sin(α-β) = sin(α+(-β)) = sinα×cos(-β)+cosα×sin(-β) = sinα×cosβ-cosα×sinβ