Логарифмом числа х по основанию а, a>0, а ≠ 1 (пишут

), называют такое число m, что

. Очевидно, что для -x значение логарифма не определено.
Примеры:


не определен, так как нет такой степени числа 5, которая равна -125.
Десятичным логарифмом числа x называется логарифм этого числа по основанию 10 (пишут

). По-другому:

=

.
Примеры:

Натуральным логарифмом числа x, называется логарифм этого числа по основанию e (пишут

). По-другому: =

. e (экспонента) – это иррациональное число, приблизительное значение которого e=2,718281828459045…. Значения натуральных логарифмов можно вычислить только приближенно. Однако, натуральные логарифмы широко используются при решении многих задач физики и прикладной математики.
Свойства логарифма.
Логарифмы (в том числе натуральные и десятичные) обладают следующими свойствами:

Доказательство:


(по определению), значит


.
Приведенные выше формулы используются при преобразовании выражений, решении уравнений и неравенств.
Пример:
Решить уравнение

Ответ: x = 9.